miércoles, 2 de mayo de 2012

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas


Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).
Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.
Antes de afrontar las formas de resolver un sistema de ecuaciones vamos a ver algunos términos y conceptos, que si bien son comunes a todas las ecuaciones y sistemas de ecuaciones, conviene recordarlos antes.

En una ecuación

Una ecuación es una expresión matemática en la que hay dos partes equivalentes, separadas con un signo igual (=). Cada una de estas partes es un miembro de la ecuación; naturalmente una ecuación está formada por dos miembros separados por el signo igual.
En cada uno de los miembros hay uno o más términos. Un término es una parte de la expresión relacionada término de una ecuación puede ser un monomio o una expresión transcendente.
Dada la ecuación:
 \sin(x) + 3 \,x^3 - 5x^2 + 6x = \log(2y^3) -32
tenemos:
   \underbrace{ 
     \underbrace{ 
          \underbrace{ \sin(x) }_{T_1} -
          \underbrace{ 3 \,x^3 }_{T_2} -
          \underbrace{ 5x^2}_{T_3} +
          \underbrace{ 6x}_{T_4}
     }_{Primer \; miembro}
     =
    \underbrace{ 
          \underbrace{ \log(2y^3) }_{T_1} +
          \underbrace{ 32 }_{T_2}
     }_{Segundo \; miembro}
   }_{Ecuaci \acute{o} n}
la parte de la izquierda del igual (=) se llama primer miembro y la parte de la derecha, segundo miembro. En el ejemplo, el primer miembro es:
 \sin(x) + 3 \,x^3 - 5x^2 + 6x
que tiene cuatro términos
 T_{1} \longrightarrow \sin(x) \,
 T_{2} \longrightarrow 3 \,x^3
 T_{3} \longrightarrow 5x^2 \,
 T_{4} \longrightarrow 6x \,
y el segundo:
 \log(2y^3) - 32 \,
con dos términos
 T_{1} \longrightarrow \log(2y^3) \,
 T_{2} \longrightarrow 32 \,
  • Si en uno de los términos hay una función trascendente, la ecuación es trascendente.
  • Si no es transcendente, el grado de la ecuación es el grado del término de mayor grado.
Una ecuación puede tener una o más incógnitas.

Ecuación lineal

En una ecuación lineal cada término está formado por un coeficiente y una incógnita, no elevada a ninguna potencia (con potencia 1, pero no se pone), y términos que no tienen incógnita. Los términos con incógnita se llaman término en..., esa incógnita; los términos que no tienen incógnita se llaman términos independientes. En la ecuación:
 5 \,x -5 + 14 \,y = -25 \,z + 6 \,y + 12
donde el término en x es:
 5 \,x
los términos en y son:
 14 \,y
 6 \,y
el término en z es:
 25 \,z
y los términos independientes:
 5 \,
 12 \,
Un término se puede pasar de un miembro a otro cambiándolo de signo. Así, en el ejemplo:
 5 \,x -5 + 14 \, y = -25 \,z + 6 \,y+12
podemos pasar todos los términos con incógnitas al primer miembro y los independientes al segundo:
 5 \,x + 14 \, y +25 \,z - 6 \,y = 12 +5
el orden de los términos dentro de cada miembro no modifica la ecuación, por lo que podemos reordenar los términos del siguiente modo:
 5 \,x + 14 \, y - 6 \,y + 25 \,z = 12 +5
también se pueden sacar factores comunes si distintos términos los tienen:
 5 \,x + (14 - 6) \,y + 25 \,z = 12 +5
y se pueden realizar las operaciones aritméticas que simplifiquen la expresión
 5 \, x + 8 \, y + 25 \,z = 17
La forma normal de representar una ecuación lineal es con todos los términos con incógnitas en el primer miembro y el término independiente en el segundo. Los monomios se simplifican de modo que cada término esté formado por un solo coeficiente y una incógnita; todas las ecuaciones lineales pueden expresarse de esta forma.
Para finalizar esta sección podemos decir que si una ecuación se multiplica por un escalar, la ecuación no varia, así la ecuación:
 2 \,x - 3 \,y + 5 \,z = 7
multiplicada por el número 3, por ejemplo:
 3( 2 \,x - 3 \,y + 5 \,z = 7)
haciendo la operación:
 6 \,x - 9 \,y + 15 \,z = 21
dando lugar a una ecuación equivalente a la primera. Del mismo modo si todos los coeficientes de la ecuación tienen un divisor común, se puede simplificar sin variar la corrección de la ecuación, por ejemplo:
 5 \,x - 15 \,y = 20
Todos los coeficientes tienen al cinco por divisor:
 5 \cdot 5 \,x - 3 \cdot 5 \,y = 4 \cdot 5
que simplificamos:
 \,x - 3 \,y = 4
Esta simplificación no modifica el sentido de la ecuación.

Convenio de representación

De forma general un sistema de ecuaciones suele representarse empleando la letra a, con los correspondientes subíndices para los coeficientes, la x, con sus subíndices para las incógnitas y la b para los términos independientes, por lo que un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se representaría así
\left \{
\begin{array}{rcrcr}
a_{(1,1)} \,x_1 & + & a_{(1,2)} \,x_2 & = & b_{1} \\
a_{(2,1)} \,x_1 & + & a_{(2,2)} \,x_2 & = & b_{2}
\end{array}
\right .
por sencillez y por costumbre, a la primera incógnita se le suele llamar x y a la segunda y; además se procura evitar el empleo de subíndices por lo que, de forma general, el sistema se suele representar así:
\left \{
\begin{array}{rcrcr}
a \,x & + & b \,y & = & c \\
d \,x & + & e \,y & = & f
\end{array}
\right .
FunLin 04.svg
Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano xy, de modo que un sistema de dos ecuaciones permite una representación gráfica como dos rectas en el plano xy, siendo la solución al sistema el punto de intersección de estas dos rectas. Por ejemplo:
   \left \{
      \begin{array}{rcrcr}
           \,x & + & \,y   & = & 5 \\
         - \,x & + & 2 \,y & = & 4
      \end{array}
   \right .
si en estas ecuaciones despejamos la y, obtenemos su forma explícita:
   \left \{
      \begin{array}{rcrcr}
         y & = & - \,x           & + & 5 \\
         y & = & \frac{1}{2} \,x & + & 2
      \end{array}
   \right .
estas dos rectas se cortan en el punto:
   \left \{
      \begin{matrix}
         x = 2 \\
         y = 3 
      \end{matrix}
   \right .
Partiendo de esta representación y de este ejemplo vamos a ver las formas básicas de resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de coeficientes reales.