Algebra

sábado, 26 de mayo de 2012

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES

~~Sumas y restas~~

Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos:

a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.

b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:

Ahora si son semejantes y podemos sumarlos

c) No son semejantes

se suman los que son semejantes

y ya no podemos hacer nada más

~~Multiplicaciones y divisiones~~

Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.

Ejemplos:

f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.

ahora si se pueden multiplicar

DIVISIÓN ALGEBRAICA (polinomios)

División entre fracciones

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

Se aplica ley de signos

Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la division, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la division (esto se llama división cruzada)

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.

Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.

Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.

Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.

El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.

Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:

miércoles, 2 de mayo de 2012

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).
Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.

Antes de afrontar las formas de resolver un sistema de ecuaciones vamos a ver algunos términos y conceptos, que si bien son comunes a todas las ecuaciones y sistemas de ecuaciones, conviene recordarlos antes.

En una ecuación

Artículo principal: Ecuación.

Una ecuación es una expresión matemática en la que hay dos partes equivalentes, separadas con un signo igual (=). Cada una de estas partes es un miembro de la ecuación; naturalmente una ecuación está formada por dos miembros separados por el signo igual.
En cada uno de los miembros hay uno o más términos. Un término es una parte de la expresión relacionada término de una ecuación puede ser un monomio o una expresión transcendente.
Dada la ecuación:

$\sin(x) + 3 \,x^3 - 5x^2 + 6x = \log(2y^3) -32$

tenemos:

$\underbrace{ \underbrace{ \underbrace{ \sin(x) }_{T_1} - \underbrace{ 3 \,x^3 }_{T_2} - \underbrace{ 5x^2}_{T_3} + \underbrace{ 6x}_{T_4} }_{Primer \; miembro} = \underbrace{ \underbrace{ \log(2y^3) }_{T_1} + \underbrace{ 32 }_{T_2} }_{Segundo \; miembro} }_{Ecuaci \acute{o} n}$

la parte de la izquierda del igual (=) se llama primer miembro y la parte de la derecha, segundo miembro. En el ejemplo, el primer miembro es:

$\sin(x) + 3 \,x^3 - 5x^2 + 6x$

que tiene cuatro términos

$T_{1} \longrightarrow \sin(x) \,$

$T_{2} \longrightarrow 3 \,x^3$

$T_{3} \longrightarrow 5x^2 \,$

$T_{4} \longrightarrow 6x \,$

y el segundo:

$\log(2y^3) - 32 \,$

con dos términos

$T_{1} \longrightarrow \log(2y^3) \,$

$T_{2} \longrightarrow 32 \,$

Si en uno de los términos hay una función trascendente, la ecuación es trascendente.
Si no es transcendente, el grado de la ecuación es el grado del término de mayor grado.

Una ecuación puede tener una o más incógnitas.

Ecuación lineal

Artículo principal: Ecuación lineal.

En una ecuación lineal cada término está formado por un coeficiente y una incógnita, no elevada a ninguna potencia (con potencia 1, pero no se pone), y términos que no tienen incógnita. Los términos con incógnita se llaman término en..., esa incógnita; los términos que no tienen incógnita se llaman términos independientes. En la ecuación:

$5 \,x -5 + 14 \,y = -25 \,z + 6 \,y + 12$

donde el término en x es:

$5 \,x$

los términos en y son:

$14 \,y$

$6 \,y$

el término en z es:

$25 \,z$

y los términos independientes:

$5 \,$

$12 \,$

Un término se puede pasar de un miembro a otro cambiándolo de signo. Así, en el ejemplo:

$5 \,x -5 + 14 \, y = -25 \,z + 6 \,y+12$

podemos pasar todos los términos con incógnitas al primer miembro y los independientes al segundo:

$5 \,x + 14 \, y +25 \,z - 6 \,y = 12 +5$

el orden de los términos dentro de cada miembro no modifica la ecuación, por lo que podemos reordenar los términos del siguiente modo:

$5 \,x + 14 \, y - 6 \,y + 25 \,z = 12 +5$

también se pueden sacar factores comunes si distintos términos los tienen:

$5 \,x + (14 - 6) \,y + 25 \,z = 12 +5$

y se pueden realizar las operaciones aritméticas que simplifiquen la expresión

$5 \, x + 8 \, y + 25 \,z = 17$

La forma normal de representar una ecuación lineal es con todos los términos con incógnitas en el primer miembro y el término independiente en el segundo. Los monomios se simplifican de modo que cada término esté formado por un solo coeficiente y una incógnita; todas las ecuaciones lineales pueden expresarse de esta forma.
Para finalizar esta sección podemos decir que si una ecuación se multiplica por un escalar, la ecuación no varia, así la ecuación:

$2 \,x - 3 \,y + 5 \,z = 7$

multiplicada por el número 3, por ejemplo:

$3( 2 \,x - 3 \,y + 5 \,z = 7)$

haciendo la operación:

$6 \,x - 9 \,y + 15 \,z = 21$

dando lugar a una ecuación equivalente a la primera. Del mismo modo si todos los coeficientes de la ecuación tienen un divisor común, se puede simplificar sin variar la corrección de la ecuación, por ejemplo:

$5 \,x - 15 \,y = 20$

Todos los coeficientes tienen al cinco por divisor:

$5 \cdot 5 \,x - 3 \cdot 5 \,y = 4 \cdot 5$

que simplificamos:

$\,x - 3 \,y = 4$

Esta simplificación no modifica el sentido de la ecuación.

Convenio de representación

Artículo principal: Sistema de ecuaciones lineales.

De forma general un sistema de ecuaciones suele representarse empleando la letra a, con los correspondientes subíndices para los coeficientes, la x, con sus subíndices para las incógnitas y la b para los términos independientes, por lo que un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se representaría así

$\left \{ \begin{array}{rcrcr} a_{(1,1)} \,x_1 & + & a_{(1,2)} \,x_2 & = & b_{1} \\ a_{(2,1)} \,x_1 & + & a_{(2,2)} \,x_2 & = & b_{2} \end{array} \right .$

por sencillez y por costumbre, a la primera incógnita se le suele llamar x y a la segunda y; además se procura evitar el empleo de subíndices por lo que, de forma general, el sistema se suele representar así:

$\left \{ \begin{array}{rcrcr} a \,x & + & b \,y & = & c \\ d \,x & + & e \,y & = & f \end{array} \right .$

Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano xy, de modo que un sistema de dos ecuaciones permite una representación gráfica como dos rectas en el plano xy, siendo la solución al sistema el punto de intersección de estas dos rectas. Por ejemplo:

$\left \{ \begin{array}{rcrcr} \,x & + & \,y & = & 5 \\ - \,x & + & 2 \,y & = & 4 \end{array} \right .$

si en estas ecuaciones despejamos la y, obtenemos su forma explícita:

$\left \{ \begin{array}{rcrcr} y & = & - \,x & + & 5 \\ y & = & \frac{1}{2} \,x & + & 2 \end{array} \right .$

estas dos rectas se cortan en el punto:

$\left \{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \end{matrix} \right .$

Partiendo de esta representación y de este ejemplo vamos a ver las formas básicas de resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de coeficientes reales.